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题目链接：https://www.acwing.com/problem/content/description/904/

题目描述

给定两个字符串 A 和 B，现在要将 A 经过若干操作变为 B，可进行的操作有：
删除–将字符串 A 中的某个字符删除。
插入–在字符串 A 的某个位置插入某个字符。
替换–将字符串 A 中的某个字符替换为另一个字符。
现在请你求出，将 A 变为 B 至少需要进行多少次操作。

输入描述

第一行包含整数 n，表示字符串 A 的长度。
第二行包含一个长度为 n 的字符串 A。
第三行包含整数 m，表示字符串 B 的长度。
第四行包含一个长度为 m 的字符串 B。
字符串中均只包含大写字母。

输出描述

输出一个整数，表示最少操作次数。
1≤n,m≤1000

示例

输入

10
AGTCTGACGC
11
AGTAAGTAGGC

输出

4

分析

约定

第一个字符串表示为a，长度为n
第二个字符串表示为b，长度为m

状态表示

f(i,j)表示a的前i个字符变为b的前j个字符所需要的最少操作次数

状态划分与计算

关于本题的状态划分和计算，我没有找到非常严谨的分析过程，只能综合各种回答，给出我认为最好的分析。
可证明：一定存在一种操作顺序，使得我们可以从左到右进行操作就可以得到最优解，所以这里可以假定最后一步只会操作a[i]和b[j]。
该证明我没有找到怎么证的，但结论应该是正确的。不摆出这个证明的话分析就更不严谨了。
由上面的证明我们可以通过最后一步对a的操作进行状态划分。(a和b等价分析谁都一样)
划分与计算如下：

• 插入操作：此时要添加，只能添加b[j]了，说明a的前i个字符已经变成b的前j-1个字符了，此时f(i,j)=f(i,j-1)+1
• 删除操作：此时要删除a[i]，说明a的前i-1个字符已经变成了b的前j个字符，此时f(i,j)=f(i-1,j)+1
• 替换操作: 此时先判断a[i]是否等于b[j]，如果不等，则应将a[i]替换为b[j]，说明a的前i-1个字已经变成了b的前j-1个字符，此时f(i,j)=f(i-1,j-1)+1。如果a[i]=b[j]，则无需操作，此时f(i,j)=f(i-1,j-1)

状态转移方程

再来考虑一下边界条件：

• f(0,0)，代表两个字符串均空，等于0
• f(i,0)，代表a由i个字符要变成空串，显然要做i次删除，等于i
• f(0,j)，代表a这个空串要变成有j个字符的b串，显然要做j次插入，等于j

由上一步的分析和对边界的考虑，我们得到状态转移方程如下：

AC代码

---

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1001;

int n, m;
char a[N], b[N];
int f[N][N];
int main()
{
	cin >> n >> a;
	cin >> m >> b;

	for (int i = 0; i <= n; i++) //边界处理
		f[i][0] = i;
	for (int j = 0; j <= m; j++)
		f[0][j] = j;

	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= m; j++)
		{
			f[i][j] = min(f[i][j - 1] + 1, f[i - 1][j] + 1);
			if (a[i - 1] == b[j - 1])
				f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1]);
			else
				f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);
		}
	}
	cout << f[n][m] << endl;
	return 0;
}