KM算法
KM算法是一种计算机算法，功能是求完备匹配下的最大权匹配。在一个二分图内，左顶点为X，右顶点为Y，现对于每组左右连接XiYj有权wij，求一种匹配使得所有wij的和最大。
KM算法将二分图的最大权匹配问题转化为最大匹配问题，从而通过匈牙利算法解决。
最大权匹配
题目链接：https://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2255
AC代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int MAXN = 305;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int love[MAXN][MAXN]; // 记录每个妹子和每个男生的好感度
int ex_girl[MAXN]; // 每个妹子的期望值
int ex_boy[MAXN]; // 每个男生的期望值
bool vis_girl[MAXN]; // 记录每一轮匹配匹配过的女生
bool vis_boy[MAXN]; // 记录每一轮匹配匹配过的男生
int match[MAXN]; // 记录每个男生匹配到的妹子 如果没有则为-1
int slack[MAXN]; // 记录每个汉子如果能被妹子倾心最少还需要多少期望值
int N;
bool dfs(int girl)
{
vis_girl[girl] = true;
for (int boy = 0; boy < N; ++boy) {
if (vis_boy[boy]) continue; // 每一轮匹配 每个男生只尝试一次
int gap = ex_girl[girl] + ex_boy[boy] - love[girl][boy];
if (gap == 0) { // 如果符合要求
vis_boy[boy] = true;
if (match[boy] == -1 || dfs( match[boy] )) { // 找到一个没有匹配的男生 或者该男生的妹子可以找到其他人
match[boy] = girl;
return true;
}
} else {
slack[boy] = min(slack[boy], gap); // slack 可以理解为该男生要得到女生的倾心 还需多少期望值 取最小值 备胎的样子【捂脸
}
}
return false;
}
int KM()
{
memset(match, -1, sizeof match); // 初始每个男生都没有匹配的女生
memset(ex_boy, 0, sizeof ex_boy); // 初始每个男生的期望值为0
// 每个女生的初始期望值是与她相连的男生最大的好感度
for (int i = 0; i < N; ++i) {
ex_girl[i] = love[i][0];
for (int j = 1; j < N; ++j) {
ex_girl[i] = max(ex_girl[i], love[i][j]);
}
}
// 尝试为每一个女生解决归宿问题
for (int i = 0; i < N; ++i) {
fill(slack, slack + N, INF); // 因为要取最小值 初始化为无穷大
while (1) {
// 为每个女生解决归宿问题的方法是 ：如果找不到就降低期望值，直到找到为止
// 记录每轮匹配中男生女生是否被尝试匹配过
memset(vis_girl, false, sizeof vis_girl);
memset(vis_boy, false, sizeof vis_boy);
if (dfs(i)) break; // 找到归宿 退出
// 如果不能找到 就降低期望值
// 最小可降低的期望值
int d = INF;
for (int j = 0; j < N; ++j)
if (!vis_boy[j]) d = min(d, slack[j]);
for (int j = 0; j < N; ++j) {
// 所有访问过的女生降低期望值
if (vis_girl[j]) ex_girl[j] -= d;
// 所有访问过的男生增加期望值
if (vis_boy[j]) ex_boy[j] += d;
// 没有访问过的boy 因为girl们的期望值降低，距离得到女生倾心又进了一步！
else slack[j] -= d;
}
}
}
// 匹配完成 求出所有配对的好感度的和
int res = 0;
for (int i = 0; i < N; ++i)
res += love[ match[i] ][i];
return res;
}
int main()
{
while (~scanf("%d", &N)) {
for (int i = 0; i < N; ++i)
for (int j = 0; j < N; ++j)
scanf("%d", &love[i][j]);
printf("%d\n", KM());
}
return 0;
}最小权匹配
求最小权匹配只需要将所有权重取反，然后将最后求出的结果再取反即可。
题目链接：http://poj.org/problem?id=2195
AC代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstdlib>
using namespace std;
const int MAXN = 110;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int love[MAXN][MAXN]; // 记录每个妹子和每个男生的好感度
int ex_girl[MAXN]; // 每个妹子的期望值
int ex_boy[MAXN]; // 每个男生的期望值
bool vis_girl[MAXN]; // 记录每一轮匹配匹配过的女生
bool vis_boy[MAXN]; // 记录每一轮匹配匹配过的男生
int match[MAXN]; // 记录每个男生匹配到的妹子 如果没有则为-1
int slack[MAXN]; // 记录每个汉子如果能被妹子倾心最少还需要多少期望值
int N;
typedef pair<int, int> P;
bool dfs(int girl)
{
vis_girl[girl] = true;
for (int boy = 0; boy < N; ++boy)
{
if (vis_boy[boy])
continue; // 每一轮匹配 每个男生只尝试一次
int gap = ex_girl[girl] + ex_boy[boy] - love[girl][boy];
if (gap == 0)
{ // 如果符合要求
vis_boy[boy] = true;
if (match[boy] == -1 || dfs(match[boy]))
{ // 找到一个没有匹配的男生 或者该男生的妹子可以找到其他人
match[boy] = girl;
return true;
}
}
else
{
slack[boy] = min(slack[boy], gap); // slack 可以理解为该男生要得到女生的倾心 还需多少期望值 取最小值 备胎的样子【捂脸
}
}
return false;
}
int KM()
{
memset(match, -1, sizeof match); // 初始每个男生都没有匹配的女生
memset(ex_boy, 0, sizeof ex_boy); // 初始每个男生的期望值为0
// 每个女生的初始期望值是与她相连的男生最大的好感度
for (int i = 0; i < N; ++i)
{
ex_girl[i] = love[i][0];
for (int j = 1; j < N; ++j)
{
ex_girl[i] = max(ex_girl[i], love[i][j]);
}
}
// 尝试为每一个女生解决归宿问题
for (int i = 0; i < N; ++i)
{
fill(slack, slack + N, INF); // 因为要取最小值 初始化为无穷大
while (1)
{
// 为每个女生解决归宿问题的方法是 ：如果找不到就降低期望值，直到找到为止
// 记录每轮匹配中男生女生是否被尝试匹配过
memset(vis_girl, false, sizeof vis_girl);
memset(vis_boy, false, sizeof vis_boy);
if (dfs(i))
break; // 找到归宿 退出
// 如果不能找到 就降低期望值
// 最小可降低的期望值
int d = INF;
for (int j = 0; j < N; ++j)
if (!vis_boy[j])
d = min(d, slack[j]);
for (int j = 0; j < N; ++j)
{
// 所有访问过的女生降低期望值
if (vis_girl[j])
ex_girl[j] -= d;
// 所有访问过的男生增加期望值
if (vis_boy[j])
ex_boy[j] += d;
// 没有访问过的boy 因为girl们的期望值降低，距离得到女生倾心又进了一步！
else
slack[j] -= d;
}
}
}
// 匹配完成 求出所有配对的好感度的和
int res = 0;
for (int i = 0; i < N; ++i)
res += love[match[i]][i];
return res;
}
void convert(vector<P> &H, vector<P> &M)
{
N = H.size();
for (int i = 0; i < N; i++)
{
for (int j = 0; j < N; j++)
{
int x = abs(H[i].first - M[j].first);
int y = abs(H[i].second - M[j].second);
love[i][j] = -(x + y);
}
}
}
int main()
{
int n, m;
while (cin >> n >> m, n || m)
{
vector<P> H;
vector<P> M;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
string t;
cin >> t;
for (int j = 0; j < m; j++)
{
if (t[j] == '.')
continue;
else if (t[j] == 'H')
H.push_back({i, j});
else
M.push_back({i, j});
}
}
convert(H, M);
cout << -KM() << '\n';
}
return 0;
}
