楼兰图腾

题目链接：https://www.acwing.com/problem/content/243/

题目描述

在完成了分配任务之后，西部 314 来到了楼兰古城的西部。
相传很久以前这片土地上(比楼兰古城还早)生活着两个部落，一个部落崇拜尖刀(V)，一个部落崇拜铁锹(∧)，他们分别用 V 和 ∧ 的形状来代表各自部落的图腾。
西部 314 在楼兰古城的下面发现了一幅巨大的壁画，壁画上被标记出了 n 个点，经测量发现这 n 个点的水平位置和竖直位置是两两不同的。
西部 314 认为这幅壁画所包含的信息与这 n 个点的相对位置有关，因此不妨设坐标分别为 (1,y1),(2,y2),…,(n,yn)，其中 y1∼yn 是 1 到 n 的一个排列。
西部 314 打算研究这幅壁画中包含着多少个图腾。
如果三个点 (i,yi),(j,yj),(k,yk) 满足 1≤iyj,yjyk，则称这三个点构成 ∧ 图腾;
西部 314 想知道，这 n 个点中两个部落图腾的数目。
因此，你需要编写一个程序来求出 V 的个数和 ∧ 的个数。

输入描述

第一行一个数 n。
第二行是 n 个数，分别代表 y1，y2,…,yn。

输出描述

两个数，中间用空格隔开，依次为 V 的个数和 ∧ 的个数。
对于所有数据，n≤200000，且输出答案不会超过 int64。
y1∼yn 是 1 到 n 的一个排列。

示例

输入

5
1 5 3 2 4

输出

3 4

分析

本题暴力枚举的时间复杂度为O(n^2)超时，采用树状数组则可降至O(nlongn)。步骤如下：

1. 从左向右依次遍历每个数a[i]，使用树状数组统计在i位置之前所有比a[i]大的数的个数、以及比a[i]小的数的个数。统计完成后，将a[i]加入到树状数组。
2. 从右向左依次遍历每个数a[i]，使用树状数组统计在i位置之后所有比a[i]大的数的个数、以及比a[i]小的数的个数，同时完成计算。统计完成后，将a[i]加入到树状数组。

   AC代码

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 2000010;

typedef long long LL;

int n;
//t[i]表示树状数组i结点覆盖的范围和
int a[N], t[N];
//Lower[i]表示左边比第i个位置小的数的个数
//Greater[i]表示左边比第i个位置大的数的个数
int Lower[N], Greater[N];

//返回非负整数x在二进制表示下最低位1及其后面的0构成的数值
int lowbit(int x)
{
    return x & -x;
}

//将序列中第x个数加上k。
void add(int x, int k)
{
    for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) t[i] += k;
}
//查询序列前x个数的和
int ask(int x)
{
    int sum = 0;
    for(int i = x; i; i -= lowbit(i)) sum += t[i];
    return sum;
}

int main()
{

    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);

    //从左向右，依次统计每个位置左边比第i个数y小的数的个数、以及大的数的个数
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int y = a[i]; //第i个数

        //在前面已加入树状数组的所有数中统计在区间[1, y - 1]的数字的出现次数
        Lower[i] = ask(y - 1); 

        //在前面已加入树状数组的所有数中统计在区间[y + 1, n]的数字的出现次数
        Greater[i] = ask(n) - ask(y);

        //将y加入树状数组，即数字y出现1次
        add(y, 1);
    }

    //清空树状数组，从右往左统计每个位置右边比第i个数y小的数的个数、以及大的数的个数
    memset(t, 0, sizeof t);

    LL resA = 0, resV = 0;
    //从右往左统计
    for(int i = n; i >= 1; i--)
    {
        int y = a[i];
        resA += (LL)Lower[i] * ask(y - 1);
        resV += (LL)Greater[i] * (ask(n) - ask(y));

        //将y加入树状数组，即数字y出现1次
        add(y, 1);
    }

    printf("%lld %lld\n", resV, resA);

    return 0;
}